Знання

Як розподілити многочлен другого ступеня (рівняння другого ступеня)

Posted on
Автор: Monica Porter
Дата Створення: 17 Березень 2021
Дата Оновлення: 1 Липня 2024
Anonim
Ділення дробів. Алгебра 8 клас
Відеоролик: Ділення дробів. Алгебра 8 клас

Зміст

У цій статті: Продовжуйте випробування та помилки. Перехід до розкладання. "Потрійна гра" Різниця двох квадратів Використовуйте квадратичну формулу Використання калькулятора

Поліном складається із змінної (x), піднятої до певної потужності, що називається ступенем многочлена, та кількох інших доданків нижчих ступенів та / або декількох інших констант. Розподілити многочлен другого ступеня (який ще називають "квадратичним рівнянням") означає звести початковий вираз до добутку виразів менших ступенів, які потім можна множити один на інший. Ці знання є частиною курсу середньої школи і багато іншого, тому ця стаття може бути складно зрозуміти, якщо ви ще не маєте необхідного рівня математики.


етапи

Для початку



  1. Напишіть своє вираження. Стандартною формою рівняння другого ступеня є:

    ax + bx + c = 0
    Почніть з впорядкування умов свого рівняння за порядком потужностей, від найбільшого до найменшого, як у стандартній формі. Візьмемо для прикладу:

    6 + 6х + 13х = 0
    Ми переставимо цей вираз, щоб полегшити роботу, просто перемістивши умови:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. Знайдіть форму, що береться за факти, використовуючи один із способів, пояснених нижче. Факторизація дасть два коротших вирази, які дадуть початковий многочлен, якщо ми помножимо їх один на інший:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    У цьому прикладі є (2x +3) та (3x + 2) чинників початкового виразу, 6x + 13x + 6.




  3. Перевірте свою роботу! Помножте визначені вами фактори. Потім комбінуйте подібні терміни, і ви все зробите. Почніть з:

    (2х + 3) (3х + 2)
    Почнемо тестувати цей вираз, множимо умови двох виразів, щоб отримати:

    6х + 4х + 9х + 6
    Звідти ми можемо додати 4x і 9x, оскільки вони є однаковими ступенями. Тоді ми знаємо, що наші фактори є правильними, оскільки ми добре підпадаємо під вираз відходу:

    6х + 13х + 6.

Спосіб 1 Проводьтеся шляхом проб і помилок

Якщо ви маєте справу з досить простим многочленом, ви повинні мати можливість з першого погляду знайти його розкладання як факторний продукт. Наприклад, багато математиків здатні бачити цей вираз 4х + 4х + 1 дає фактори (2x + 1) і (2x + 1) за звичкою та досвідом (очевидно, що це не так просто у випадку складних многочленів). Для цього прикладу візьмемо менш поширений вираз:

3х + 2х - 8

.




  1. Складіть перелік коефіцієнтів коефіцієнта має і з. Використовуючи вираз форми ax + bx + c = 0, визначте коефіцієнти має і з і перерахуйте відповідні фактори. Для: 3x + 2x - 8, це дає:

    a = 3 і має лише одну пару факторів: 1 * 3
    c = -8 і чотири пари факторів: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 і -1 * 8..



  2. Напишіть на папері дві пари круглих дужок з пробілом, щоб записати всередині них. Ви введете константи для кожного виразу у наданому просторі:

    (х) (х).



  3. Перед x запишіть пару можливих коефіцієнтів для коефіцієнта має. Для коефіцієнта має у нашому прикладі 3х, є лише одна можливість:

    (3x) (1x).



  4. Потім заповніть два залишки порожнього простору парою факторів для коефіцієнта з. Візьмемо для прикладу 8 і 1. Запишіть їх:

    (3x8) (Х1).



  5. Визначте зараз знак (більше або менше) розмістити між x і числом, яке ви поставили після нього. За ознакою вихідного виразу можна знайти те, якими повинні бути знаки констант. виклик годину і До константи наших факторів:

    Якщо ax + bx + c, то (x + h) (x + k)
    Якщо ax - bx - c або ax + bx - c, тоді (x - h) (x + k)
    Якщо ось - bx + c, то (x - h) (x - k)
    У нашому прикладі 3x + 2x - 8 знаки повинні бути розміщені таким чином: (x - h) (x + k), що дає нам два наступні фактори:

    (3х + 8) і (х - 1).



  6. Перевірте свою фактичну форму, переробивши її. Перший швидкий тест - це перевірити, чи має середній термін потрібне значення. Якщо х недобре, то, можливо, ви вибрали неправильну пару факторів для коефіцієнта з, Давайте перевіримо наші результати:

    (3x + 8) (x - 1)
    Роблячи множення, ми отримуємо:

    3х - 3х + 8х - 8
    Додаючи аналогічні терміни (-3x) та (8x) для спрощення цього виразу, отримуємо:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    Тепер ми знаємо, що ми, ймовірно, визначили неправильні фактори:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. При необхідності обміняйте свій вибір чинниками. У нашому прикладі спробуємо 2 та 4 замість 1 та 8:

    (3x + 2) (x - 4)
    Тепер наш коефіцієнт з дорівнює -8, але множення (3x * -4) і (2 * x) дають -12x і 2x, які, крім того, не завжди дають початкове значення б, тобто + 2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x.



  8. При необхідності скасувати замовлення. Інвертуємо в нашому прикладі місця 2 і 4:

    (3x + 4) (x - 2)
    Тепер коефіцієнт з завжди добре, але коефіцієнти доданків у х варті цього разу -6x та 4x. Після додавання це дає:

    -6х + 4х = -2х
    2x ≠ -2x Ми дуже близькі до початкового значення 2x, яке ми прагнемо знайти, але знак не дуже.



  9. При необхідності ще раз перевірте знаки. Зараз ми будемо дотримуватися того ж порядку, але обміняємося знаками:

    (3x - 4) (x + 2)
    Коефіцієнт раніше з завжди добре, і терміни в x тепер варті (6x) і (-4x). З моменту:

    6х - 4х = 2х
    2x = 2x Отже, ми отримуємо 2x, який ми мали спочатку. Тож ми, мабуть, знайшли правильні фактори.

Спосіб 2 Продовжуйте розкладанням

Цей метод дозволить нам виявити всі можливі фактори для отримання коефіцієнтів має і з і використовувати їх для виявлення, які фактори є правильними. Якщо кількість дуже велика або інші методи проб і помилок здаються занадто довгими, ви можете скористатися цим методом. Візьмемо такий приклад:

6х + 13х + 6

.



  1. Помножте коефіцієнт має за коефіцієнтом з. У нашому прикладі має дорівнює 6 і з також дорівнює 6.

    6 * 6 = 36.



  2. Знайдіть коефіцієнт б шляхом факторингу, а потім випробування отриманих факторів. Ми шукаємо два числа, які є чинниками продукту має * з який ми визначили і чия сума вартує значення коефіцієнта "b" (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. Введіть два числа, які ви щойно потрапили у своє рівняння; розмістіть їх перед х, так що їх сума дорівнює коефіцієнту б. Візьмемо листи До і годину представляти два отримані числа, 4 і 9:

    ax + kx + hx + c
    6х + 4х + 9х + 6.



  4. Складіть фактор на ваш многочлен шляхом групування. Організуйте рівняння так, щоб знайти найбільший спільний множник перших двох доданків і найбільший спільний коефіцієнт останніх двох доданків. Потім слід отримати суму двох однакових форм, що враховуються. Підсумуйте два коефіцієнти разом і покладіть їх у дужки перед формою, що враховується; Ви отримуєте два фактори:

    6х + 4х + 9х + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2х + 3) (3х + 2).

Спосіб 3 "Потрійна гра"

Цей спосіб дуже схожий на попередній. Це складається з вивчення можливих факторів для продуктів коефіцієнтів має і з, то використовуйте їх, щоб знайти значення б, Візьмемо для прикладу таке рівняння:

8х + 10х + 2



  1. Помножте коефіцієнт має за коефіцієнтом з. Як і у випадку методу декомпозиції, це допоможе нам визначити потенційних кандидатів на коефіцієнт б, У нашому прикладі має дорівнює 8 і з коштує 2.

    8 * 2 = 16.



  2. Знайдіть два числа, добуток яких є число, щойно знайдене раніше (16) і сума яких дає коефіцієнт "b". Цей крок ідентичний кроці методу розкладання - тобто ми тестуємо та відхиляємо кандидатів на константи. Добуток коефіцієнтів має і з дорівнює 16, а коефіцієнт з дорівнює 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. Візьміть ці два числа і замініть їх у формулі "потрійної гри". Візьміть два числа з попереднього кроку - назвемо їх годину і До - і введіть їх у наступному виразі:

    ((ax + h) (ax + k)) / a

    Потім ми отримуємо:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. Знайдіть, який із круглих виразів у чисельнику ділиться на коефіцієнт має. У цьому прикладі ми перевіряємо, чи (8x + 8) або (8x + 2) можна розділити на 8. (8x + 8) ділиться на 8, тоді цей вираз ділимо на має і залиште інший вираз таким, яким він є.

    (8x + 8) = 8 (x + 1)
    Вираз, який ми зберігаємо тут, є тим, що залишається після ділення на коефіцієнт має : (x + 1).



  5. Знайдіть - якщо є - більший загальний фактор в обох дужках. У нашому прикладі другий вираз має більший загальний коефіцієнт 2, оскільки 8x + 2 = 2 (4x + 1). Комбінуйте цю відповідь із виразом, який ви знайшли на попередньому кроці. Таким чином, ви знайшли два фактори вашого многочлена.

    2 (х + 1) (4х + 1).

Метод 4 Різниця двох квадратів

Деякі коефіцієнти многочленів можна ідентифікувати як "квадрати", тобто як добутки множення двох чисел. Визначивши ці квадрати, можна значно швидше розмістити фактор деяких поліномів. Візьмемо для прикладу рівняння:

27х - 12 = 0



  1. Почніть з фактурування всього на більш великий загальний фактор, якщо це можливо. У нашому прикладі ми бачимо 27 і 12, обидва з яких ділиться на 3, тому ми можемо "розбити" початковий вираз наступним чином:

    27x - 12 = 3 (9x - 4).



  2. Визначте, чи є коефіцієнти вашого рівняння квадратними числами. Для використання цього методу ви повинні мати можливість знайти квадратні корені для своїх коефіцієнтів (зауважте, що ми не вважаємо негативними ознаками - оскільки ми маємо справу з квадратами, вони можуть бути добутком двох позитивних чисел або негативний)

    9x = 3x * 3x і 4 = 2 * 2.



  3. Використовуючи квадратні корені, які ви знайшли, запишіть ваші фактори. Візьміть значення має і з раніше знайдено - має = 9 і з = 4 - перш ніж знайти їх квадратний корінь - √має = 3 і √з = 2. Це будуть коефіцієнти наших виражених факторів:

    27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Метод 5 Використання квадратичної формули

Якщо всі перераховані вище методи виявилися невдалими і ви не в змозі знайти правильні коефіцієнти для рівняння, то використовуйте квадратичну формулу. Візьмемо такий приклад:

x + 4x + 1 = 0



  1. Візьміть значення коефіцієнтів "a", "b" і "c" і замініть їх на наступну квадратичну формулу:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2а
    Потім отримуємо вираз:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. Розв’яжіть рівняння, щоб знайти х. Як ви бачите вище, ви повинні отримати два значення x:


    x = -2 + √ (3) або x = -2 - √ (3).



  3. Використовуйте значення x для пошуку факторів. Введіть значення x, отримані раніше, як константи двох многочленних виразів. Це будуть ваші фактори. виклик годину і До значення x, і запишіть дві фактичні форми:

    (x - h) (x - k)
    У цьому випадку кінцевим результатом є:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

Спосіб 6 Використання калькулятора

Якщо вам дозволено використовувати графічний калькулятор, пам’ятайте, що це значно полегшить ваше завдання, особливо під час іспитів. Ці інструкції дійсні лише для графічних калькуляторів марки Texas Instrument. Візьмемо для прикладу таке рівняння:

y = x - x - 2



  1. Введіть своє рівняння в калькулятор. Вам доведеться використовувати "рівняння роздільної здатності", тобто екран.



  2. Складіть графічне зображення свого рівняння на калькуляторі. Після введення рівняння натисніть - після цього ви побачите графічне зображення кривої (точніше, ви отримаєте "дугу", тому що працюєте над поліномами).



  3. Знайдіть точки перетину дуги з віссю x (x). Оскільки поліноміальні рівняння традиційно записуються у вигляді: ax + bx + c = 0, це два значення x, для яких вираз дорівнює нулю:

    (-1, 0), (2 , 0)
    х = -1, х = 2.
    • Якщо ви не можете прочитати значення місця, де ваша крива перетинає вісь x, натисніть, а потім. Натисніть або виберіть "нуль". Перемістіть курсор ліворуч від одного з перехресть і натисніть. Потім перемістіть курсор праворуч від цього перехрестя і натисніть знову. Далі перемістіть курсор якомога ближче до перехрестя та натисніть ще раз. Калькулятор знайде значення x. Зробіть те саме, що й для іншого перехрестя.



  4. Нарешті, введіть значення x, отримані на попередньому етапі, у двофакторний вираз. Якщо ми зателефонуємо годину і До наші два значення x, ми будемо використовувати наступний вираз:

    (x - h) (x - k) = 0
    Отже, ми отримаємо наступні два фактори:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • Олівець
  • Папір
  • Рівняння другого ступеня (або квадратичне рівняння)
  • Графічний калькулятор (необов'язково)